译者序The Once and Future Turing: Computing the World本书的译者大多数首次承担翻译工作。翻译与阅读不太一样。阅读只要意会，而翻译需要加上言谈。既然是首次，自然有一定的困难。可是，为什么大家愿意承担这项工作呢？最重要的原因在于，这是本吸引人的好书。它的吸引人之处并非图灵的传奇故事，而是涉及计算机技术未来的丰富思想。毫无疑问，这本书是为纪念伟大的计算机先驱图灵而编写的，它遍数了图灵曾经产生过的各种各样的天才想法。同时，书中也阐述了这些思想在近代的发展，并且更重要的是，展望了这些科学思想的未来前景。图灵不愧是个天才，他的思想极其丰富，琳琅满目，令人目不暇接。不仅仅涉及计算机科学与技术，而且涉及物理、生物以及为人类思维建模的奇特想法。在工作之余，阅读此书，会让人耳目一新，思路开阔。让更多的人受益，这是我们翻译此书的心意和衷心的期望。堵丁柱2018年1月人科研教学仅供个
前言The Once and Future Turing:Computing the World这本书源于数理逻辑学家巴里·库珀的提议。在2007年时，他已经在筹划一个会议，纪念阿兰·图灵诞辰一百周年，不过，对于复兴图灵研究而言，这仅仅是他巨大的、充满激情的奉献的开端。2009年，在编辑图灵的一部新的极为重要的论文专辑时，他（和我一起）向剑桥大学出版社提出了一个想法，出版一本关于“图灵与计算之未来”的书。在与出版社的大卫·特纳拉赫和塞维亚·芭比娜接触以后，巴里和我感觉这是个机会，让当今顶尖的科学家们把图灵遗产中动人且有挑战性的部分带给广大读者。2010年，我们确定了书名TheOnceandFutureTuring，并且开始约稿。这项计划依靠的是巴里·库珀担任欧洲可计算性学会主席以及参与数不胜数的学术会议组织委员会所凝聚的网络力量。更为重要的是，计划中饱含他充满智慧的探索，呈现了逻辑与现代物理以及人类科学之间的相互影响。巴里对于“ComputingtheWorld”有着独到的见解，他将其作为副书名，并在书中五个部分的开篇对其做了进一步阐释，这些都是他对本书的贡献。我的贡献（包括全书开篇的引言）主要围绕图灵之曾经（TuringOnce），巴里则书写了图灵之未来（TuringFuture）。非常不幸，在本书准备工作的最后阶段，巴里突然去世了。特别令人难过人科研教的是，他没能看到本书的出版。巴里诚挚地感谢剑桥大学出版社的每个参与者，我也是一样。同时，感谢撰写各章的杰出作者们，他们慷概地工作并且永远充满耐心。这些章节从各个方面反射出时间与人类生命的奇迹，展现了一幅未来之景，如果图灵和巴里·库珀还活着，这一定是他们希望看到的。安德鲁·霍奇斯2016年1月
本书作者The Once and Future Turing:Computing theWorldScottAaronson,Department of Electrical Engineering and ComputerScience,MassachusetsInstitute of Technology,Cambridge MA 02139,USA.aaronson@csail.mit.edu,www.scottaaronson.comRuthE.Baker,Wolfson CentreforMathematical Biology,Mathematical Institute,AndrewWilesBuilding,RadcliffeObservatoryQuarter,WoodstockRoadOxfordOX26GG,UK.baker@maths.ox.ac.ukAndrewR.Booker,DepartmentofMathematics,University ofBristol,UniversityWalk,Clifton,BristolBS81TW,UK.www.maths.bris.ac.uk/-maarbThe lateS.Barry Cooper,School ofMathematics,Universityof Leeds,Leeds29JT,UK.wwwl.maths.leeds.ac.uk/~pmt6sbc/MartinDavis,3360DwightWayBerkeleyCA94704-2523,USA.www.cs.nyu.edu/faculty/davism/SolomonFeferman,DepartmentofMathematicsStanfordUniversity,StanfordCA94305-2125,USA.math.stanford.edu/-feferman/EamonnA.Gaffney,WolfsonCentreforMathematical Biology,MathematicalInstitute,AndrewWilesBuilding,Radcliffe ObservatoryQuarter,WoodstockRoad,Oxford OX26GG,UK.gaffney@maths.ox.ac.ukRichard Gordon,Embryogenesis Center,Gulf SpecimenMarine Laboratory,PanaceaFL32346,USA,and C.S.Mott CenterforHumanGrowth&Development,Departmentof Obstetrics&Gynecology,WayneStateUniversity,DetroitMI48201,USAhttp://tinyurl.com/DickGordon
VIDouglasRichard Hofstadter,CenterforResearch on Concepts and Cognition,IndianaUniversity,512NorthFessAvenue,Bloomington,IN47408,USAwww.soic.indiana.edu/people/profiles/hofstadter-douglas.shtmlMartinHyland,DPMMS,CentreforMathematical Sciences,CambridgeUniversity,WilberforceRoad,CambridgeCB3OWB,UKStuart Kauffman,Departments of Mathematics and Biochemistry,University ofVermont,USA.http://en.wikipedia.org/wiki/Stuart_KauffmanPhilipK.Maini,Wolfson CentreforMathematical Biology,MathematicalInstituteAndrewWilesBuilding,RadcliffeObservatoryQuarter,WoodstockRoad,Oxford OX26GG,UK.https://people.maths.ox.ac.uk/maini/Kanti.Mardia,SchoolofMathematics,UniversityfLeeds,LeedsL29JT,UK;andDepartmentofStatistics,UniversityofOxford,xfordX1TG,Uhttp://wwwl.maths.leeds.ac.uk/~sta6kvm/UeliMaurer,Departmentofomputrcience,ETHZurich,CH092Zurich,Switzerland.http://www.crypto.ethz.ch/-maurer/RogerPenrose,Mathematical Institute,UniversityofOxford,AndrewWilesBuilding,Radcliffe Observatory Quarter,Woodstock Road,Oxford OX26GG,UK.http://www.maths.ox.ac.uk/people/profiles/roger.penroseChristofTeuscher,PortlandStateUniversity,DepartmentofElectrical andComputerEngineering,P.0.Box751,PortlandOR97207-0751,UA.christof@teuscher.ch,http://www.teuscher-lab.comBS81TW,UK.http://www.maths.bris.ac.uk/people/faculty/mapdw/StephenWolfram,WolframResearchInc.,100 Trade CenterDrive,Champaign,IL61820,USAhttp://www.stephenwolfram.com人科研ThomasE.Woolley,WolfsonCentreforMathematical Biology,MathematicalInstitute,AndrewWilesBuilding,RadcliffObservatoryQuarter,WoodstockRoad,OxfordOX26GG,UKwoolley@maths.ox.ac.ukAndrewHodges,Mathematical Institute,University of Oxford,Andrew WilesBuilding,RadcliffeObservatoryQuarter,WoodstockRoad,Oxford,Ox26GG,UKwww.synth.co.uk
本书译者The Once and Future Turing:Computing the World堵丁柱，负责引言、第15章和后记得克萨斯大学达拉斯分校，计算机科学系，www.utdallas.edu/~dxd056000/高晓讽，负责第1~3章和第13章上海交通大学，计算机科学与工程系，www.cs.sjtu.edu.cn/~gao-xf/徐秋亮，负责第4章山东大学，计算机科学与技术学院，www.cs.sdu.edu.cn/zh/~xql李廉，负责第5~8章合肥工业大学，现已退休徐雯，负责第9、10章得克萨斯女子大学，数学与计算机科学系，twu.edu/math-computer-science/faculty-and-staff/wen-xu-phd/吕再新，负责第11章华盛顿州立大学，计算机科学系，directory.vancouver.wsu.edu/people/zaixin-lu仅供孙晓明，负责第12章中国科学院计算技术研究所，sourcedb.ict.cas.cn/cn/jssrck/201110/t20111012_3361678.html蔡志鹏，负责第14章佐治亚州立大学，计算机科学系，grid.cs.gsu.edu/zcai/
The Once and Future Turing: Computing the World译者序前言本书作者本书译者引言/1第一部分置身可计算的世界，探索普适性数学第1章算法、方程和逻辑/11马丁·戴维斯1.1方法概览／121.2例子：完全平方数集/131.3些关系/141.4猜想变成定理的故事/15通用方程／181.5素数和一个丑陋的多项式/191.6逻辑/211.71.8关于数学/221.9关于朱莉娅·罗宾逊的电影/23附录：不可解性定理的证明/23参考文献/24
IX第2章被遗忘的图灵/25OJ.M.E.海兰2.1引言/252.2唯一的学生/252.3回忆/26早年时光／272.42.5学生与导师／29中文翻译/302.62.7一个想法的产生／312.8远见和反思/322.9图灵和类型论/332.10图灵的理论倾向/342.11从未完稿的论文／352.12图灵的遗产/37参考文献/37第3章图灵和素数/39安德鲁R.布克3.1素数/393.2大素数/413.2.1梅森素数/413.2.2电子时代的梅森素数/423.3素数的分布/443.3.1黎曼函数/453.3.2图灵与黎曼猜想/4733.3形式化证明/5134今天与未来/51参考文献/56第4章图灵之后的密码学和计算/57乌力·毛勒4.1引言/584.2密码学/59
X4.2.1引言/594.2.2密钥的需求/604.2.3安全性证明/604.3计算/614.4迪菲-赫尔曼密钥协商协议/624.4.1预备知识/624.4.2有效的乘幂运算/634.4.3密钥协商协议/634.5群上的离散对数及其他计算问题／654.6离散对数算法/664.6.1引言/664.6.2大步小步算法/674.6.3波利格-赫尔曼算法/684.7抽象计算模型/694.7.1动机/694.7.2计算模型/704.7.3三种问题类型/714.8证明安全性：复杂度下界/724.8.1引言/724.8.2两个引理/734.8.3群作用和大步小步算法的最优性/744.8.4离散对数和波利格-赫尔曼算法的最优性/754.8.5Z中的乘积计算和CDH问题/774.8.6DDH问题/784.8.7DL问题到CDH问题的一般归约/794.9结论/79仅供个人科研教学使用致谢／79参考文献/80第5章图灵与恩尼格玛统计学/81坎蒂V.马蒂亚，S.巴里·库珀5.1引言/81
IX5.2事例的权重与经验贝叶斯/835.3字母队列/845.3.1恩尼格玛编码描述/845.3.2字母队列的重要性/855.4GCHQ解密的两个重要的图灵报告/855.5图灵的全局统计观/875.5.1统计学和抽象层次/875.5.2扩展信息分层/885.6形态发生、统计和图灵的人工智能／89参考文献/90第二部分过程计算而非计算大脑第6章图灵的洞察/96斯蒂芬·沃尔弗拉姆参考文献/107第7章外设计算和内生计算／108克里斯托夫·托伊舍7.1自顶向下和自底向上的设计/1087.2内生计算和外设计算／1097.3图灵的自底向上计算模式/1107.4从内生计算到外设计算／1127.5展望/115参考文献／116第8章迟钝呆板的人类遇见顶级机器翻译家/118侯世达仅快第三部分通向计算生命的逆向工程之路第9章图灵理论之发育模式形成/133菲利普K.梅尼，托马斯E.伍利，埃蒙A.加夫尼，露丝E.贝克9.1引言/1339.2发育的应用场景/137
IX9.3图灵理论的扩展/1389.4关于图灵模型的争议/1399.5图灵的影响/142致谢/142参考文献/142第10章走钢丝绳：图灵形态发生学中分层不稳定性的困境/145理查德·高登致谢/155参考文献/155第四部分量子计算的生物学、思维和推广第11章回答笛卡儿：超越图灵/162斯图亚特·考夫曼11.1引言/16211.2机器思维/16311.3思维、意识和机器思维/16711.3.1回答笛卡儿/17011.3.2封闭式量子系统和双缝实验/17011.3.3开放式量子系统/17111.3.4稳定的域/17211.3.5非算法的、非确定性的、非随机的反图灵系统/17311.3.6负责任的自由意志/17511.3.7回答笛卡儿：思维如何在大脑中活动/17611.3.8潜能和广延实体通过量子测量相联系/17711.3.9意识是什么/178仅供个人科研教学使用11.3.10感受性与量子测量的关系/17911.3.11最前端的大脑/18111.3.12量子纠缠、萨穆利的观点和捆绑问题/18211.3.13反图灵系统的编程/18311.4结论/184附言/184
IX致谢／186参考文献/186第12章量子图灵机中的幽灵/189斯科特·阿伦森12.1引言/19012.1.1“自由意志”与“自由”/19412.1.2关于本章标题的注释/19712.1.3阅读本章所需的知识水平/19712.2常见问题/19812.2.1狭窄的科学主义/19812.2.2偷梁换柱/19912.2.3相容论/20112.2.4量子梦话/20312.2.5大脑上传：谁会在乎/20412.2.6决定论与可预测性/20812.2.7量子力学与隐藏变量/20912.2.8结果论证/21212.2.9预测论/21412.2.10奇点主义/21412.2.11利贝实验/21612.2.12心灵和道德/21812.3奈特不确定性和物理／21912.3.1奈特不确定性/220123.2量子力学与不可克隆定理/224科研12.3.3自由比特构想/22712.3.4放大与大脑/23012.3.5反对假想小人/23312.4从内而外的自由／23312.4.1协调问题/23612.4.2微观事实与宏观事实/23912.5进一步的反对意见/240
XIV12.5.1广告商异议/24012.5.2天气异议/24112.5.3沙鼠异议/24212.5.4初始状态异议/24512.5.5维格纳的朋友异议/24712.6与彭罗斯观点的比较/25012.7应用到玻尔兹曼大脑上/25612.8指代和自由比特/25712.9自由比特构想能被证伪吗／26112.10结论/263致谢/267附录A定义“自由”/268附录B预测和柯尔莫戈洛夫复杂度/274附录C奈特量子态／278参考文献/279第五部分神谕、无限计算和心智的物理学第13章图灵的“神谕”：从绝对可计算性到相对再返回／286所罗门·费弗曼13.1引言/28613.2“绝对”有效可计算性／28713.2.1机器和递归函数/28713.2.2部分递归函数/28913.2.3有效不可解问题和归约方法/28913.3自然数的相对有效可计算性／29113.3.1图灵的“神谕”和图灵可归约性/29113.3.2递归可枚举集合、不可解度和波斯特问题／29313.3.3波斯特问题的解和度理论的繁荣/29613.4自然数的一致相对可计算性／29813.4.1相对计算过程和局部递归泛函数/29813.4.2递归论/299
XV13.4.3自然数上有限类型的局部递归泛函数/30013.5广义递归论/30113.5.1背景与概述/30113.5.2集合和序数上的可计算性/30213.5.3一般结构上的可计算性/30413.6在真实计算中相对可计算性概念的角色/30713.6.1计算实践和计算理论/30713.6.2内置函数和黑盒/30913.6.3编程函数方面/30913.6.4抽象数据类型/31013.6.5复杂性的度/31113.6.6结论/313附言/314参考文献/314第14章图灵超越：超越事件视界/318OP.D.韦尔奇14.1起源/31814.2极限可判定/32314.3MH时空/32414.4无穷序数：超越算术/32714.5回到MH时空/33014.68。心智/33114.7无限时间图灵机／33314.8寄存器机和其他推广./33714.9研结论/340参考文献/341第15章为数学思维建模的尝试/342罗杰·彭罗斯15.1图灵的顺序逻辑/34215.2数学之信任/34415.3数学理解所基于的物理过程/346
XVI15.4ⅡI语句/34715.5谨慎神谕/349谨慎神谕装置的运转/35115.615.7对于谨慎神谕装置的哥德尔型定理/353物理含义/35415.8参考文献/355后记/357
引言阿兰：图灵短暂的一生始于1912年，止于1954年。这本书的灵感来自他的百年诞辰纪念。但是作为本书的发起人，巴里·库珀和我期望在讨论图灵过往的同时，在主题中加人“未来”。我们选择了一个令人兴奋的书名一一TheOnceandFutureTuring，它取材于亚瑟王墓碑上的铭文。我们邀请了一些著名的科学家来简述基于图灵之发现的科学工作，分享他思想的精髓，而且还要求给出未来的闪光点。结果即为本书中的15章，这些作者以完全不同的方式回应了我们的挑战。越显移查最穿图灵自己对于未来有毫不含糊的超级想象力。他在1950年的经典论文《计算机器与智能》中所做的预言就是一个著名的例子。他并不总是对的，也没几个人相信他小心阐述的关于机器智能的50年预测，可是这实现了。另一方面，他低估了快速、便宜、大规模计算的潜力。他在1948年对未来计算机硬件的想象正确地指出了光速是计算速度的关键约束。但是他关于厘米规模电子元件的假定忽视了小型化的巨大潜力。对图灵的先见之明，较为令人侧目的证明是他对于通用机器能力，以及对于今天称为软件工业的未来的评论：“每个已知的过程都不得不编译成指令表的形式··”在1946年，图灵可以自信地说，他是英美密码战的“幕后操纵者”，并为国际关系的未来留下了自己的遗产，不过，这份遗产还没有得到仔细评估。1939年他和高登·威奇曼建功立业，说服英国当局给予从未试验过的“图灵炸弹”密码破译机技术大量投资，结果证明，这部机器的逻辑光芒改变了战争中英国的命运。这种视野并非图灵独有。为了战胜希特勒，布莱切利园好似一跃跨人未来，他们的工作科学、有组织且社会化，仿佛60年代先于40年代到来了。但图灵对于自身的洞察力总是有着特殊的自信。1936年他提出通用计算机器时，选择了一个非数学而有启发性的词汇“发明”：“通用计算机器。我们可
2引言以发明一种机器，用来计算任何可计算的序列·”同一年他清楚地预见了即将到来的与德国的战争，以及密码学对于这场战争的重要性。战后，虽然他不能对实用计算机的发展保持控制，然而他的自信并未动摇。在没有任何外部支持的情况下，他依然亲自动手做计算机实验，研究生物生长的数学理论。这样的孤独并没有影响他的热情，即使他的模型不得不等到20世纪70年代才得到认真对待，而到90年代人们才需要具备那种能力的计算机。对于图灵，剑桥应该是他最接近的理想归宿，可是他的行为从来不符合分支配着剑桥的全体教职员工。取而代之的是，他表现出数学预言的能力，先于而非跟随科学观察所得。我们可称之为超级神奇（metamagical），把meta和magical连到一起造出这个新词的是本书的作者之一一—侯世达（DouglasHofstadter)在回到贯穿本书的话题之前，我们讲一个关于阿兰·图灵生活的新故事。对于已经熟悉他的非凡故事的人，这可以算作一个有价值的插曲。对于不熟悉的人，这段插曲会让你体会到，为何在数学、科学和技术之外，他的个人生活已经成为大众痴迷的源泉。2013年，在我们选定书名很长时间以后，牛津大学图书馆举办了一场主题为“神奇的书，从中世纪到中土”的展览。在人口处是亚瑟王的铭文：Rexquondam，Rexquefuturus（曾经与未来）。展览中作为特色的有阿兰·加纳的近期工作，包括他最著名的书《猫头鹰恩仇录》。这场展览与图灵的联系是如此神奇：阿兰·加纳曾经是阿兰·图灵的跑友，他们于1951~1952年在柴郡的乡间小道上跑了上千英里。他们相遇于1951年，在跑步时发现了彼此。那时阿兰·加纳刚17岁，是处得很平等，这令他极为欣赏，因为他的学校的特殊氛围就是这样（由另外一用个名叫阿兰的人通过喜剧《历史系男生》所诱发的一种文化）。平等也来自相称的实力，图灵已经是位有名的业余长跑运动员，而加纳刚刚成为有竞争力的年轻短跑运动员。平等也可以在玩笑中发现，这种玩笑现在叫作“没有废话”，充满文字游戏和粗俗的幽默。当图灵问他智能机器是否具有可能性时，加纳并未感到新奇。在静静地跑了十几分钟后，他回答说不。图灵没有争辩。“为什么学习传统的语言？”图灵又问。加纳回答：“你不得不学会以不同的方式使用大脑。”这种回答也许会让图灵满意。在六到七英里的持续慢跑中，他们的谈话通常远离个人。但是有次例外，
引言3可能是在1951年年末，图灵提起白雪公主的故事。“你也是！”加纳吃惊地说。原来，这让加纳立刻回想起童年的奇异经历。那是他五岁的时候，《白感，他们共同的创伤一如同加纳看到的一一成为维系其中的纽带。“他习惯于重温情景中的细节，老是想着那个模糊的苹果，一边红一边绿，其中一边引向死亡。”他们的来往发生在图灵作为同性恋受到庭审和惩罚的时期。图灵从来没说过他的遭遇，不晓得为什么，加纳直到1952年后期才听到这些新闻，这时警察警告他，不能和图灵在一起。加纳对此以及他听说的事非常气愤，其实，他从来没有受到一丝一毫的侵害。但是不可避免地，他和图灵的关系遗憾地结束了。阿兰·加纳痛苦地回忆起他在1953年最后一次见到图灵的情景，他们刚好坐同一辆巴士从威姆斯洛去曼彻斯特，当时加纳和女朋友在一起，这使得他很难谈起任何恰当的话题，因此他装作没有注意到图灵的存在。这件事像极了小说和电影中青春散场的一幕，不久，加纳就启程去服兵役了，在那里，他听到了图灵的死讯。阿兰·加纳始终没有披露这些经历，直到六十多年以后，它们才出现在《观察家报》的一个栏目上。对于图灵奇幻的一生，其中一定有很多内容人们永远都无法知道。但是可能没有一个含有这样的情节，图灵发现了自己的苹果，那个直接预示着他1954年的死亡的符号。2012年我听阿兰·加纳讲起这个故事，仍然仿佛发生在昨天一样，它直击我们现在正在创造的婉六十多年的历史。巍峨立的乔德雷尔·班克射电望远镜加重了时间流逝的痕迹，它邻接一座古建筑，那是一处考古遗址，也是阿兰和格丽西达·加纳安家的地方。望远镜自身也是充满活力的曼彻斯特大学的科学前哨，并且它与计算机一样，是1945年以后由第二次世界大战之技术转变为科学的成果之一。现在，它已经成为天文学和宇宙学的基础设施，但是在1954年，它们还是全新的。宇宙的规模和年龄还是未知的，这些事情都将在其后的几十年里研究清楚。在那充满创造力的年代，如果图灵还活着，他可能会带来许多新发现，然而时间定格在1954年，图灵永远停止了创造。作为本书的作者之一，巴里·库珀在与图灵相伴的时间旅行中加人了副书名“ComputingtheWorld”，并且建议不限制其触及的范围，这对于图灵完全合适，他拒绝受任何思想领域的限制。在1953～1954年最后的笔记中，图灵显露出他正在思考基础物理，受到狄拉克的影响，笔记记录了他关于旋量以及重构
4引言量子力学的一些想法。某些批评者可能认为这些好像是单纯的涂鸦，或者初始的疯狂。但是在他最后的明信片中，“创世纪光锥”这一神来之笔正确地预见到：在现代物理学中，光的几何已经被证明是关键的思想，并且宇宙大爆炸的光锥在本书作者之一罗杰·彭罗斯的工作里形成了清晰的数学思想。图灵那颇为怪诞的格言“粒子是源”，其实参考了基本粒子和力都是对称群表示的思想：20世纪末最伟大的发现之一就是，次核粒子夸克是由对称群SU（3）描述的。我的兴趣并非无所偏倚：我自已在数学工作中已经在发展罗杰·彭罗斯的想法，用基于光锥的“磁扭线”几何取代费曼图，形成粒子物理的中心台柱。其实，理查德·费曼自身忍受着与图灵的比较，在原子弹工程中崭露头角后，20世纪40年代晚期他在基础物理中的工作就是图灵机的相似物。费曼也写了一些有关科学的极有个性且很受欢迎的书，这些书斐然可观，用生活化的笔触诠释了更广泛的科学文化，这是其他书很少能够企及的。费曼和图灵还有一个小小的交集。就在艾森哈特女士道出那句流传至今的“别逗了，费曼先生”之前，她刚刚送走阿兰·图灵，一位同样令人尴尬的参会者，在同样令人室息的普林斯顿研究生院茶会上。此后，费曼开始了量子计算的早期思考，他和图灵可能已经发现了共同的战场。他们的嬉笑怒骂总是为人津津乐道，即使是向权威说明想法时，他们也不会留意任何外交辞令。个起可是，也存在明显的不同点：对于图灵，长期保持做一个诚实的人是非常不容易的。在布莱切利园的密码工作比原子弹工作要更为隐秘。而图灵的性取向相对于费曼不仅仅是不方便，更是禁忌的，是不可言说的，是犯罪，甚至是国家安全问题。理论上说，抗争的自由在第二次世界大战期间没有完全被忘记，而且说出自己的想法也不是完全不可能。斯堪的纳维亚半岛早期争取同性恋权利的运动促使图灵于1952年夏天去了趟挪威（在同一年，六年级学生阿制活动带来了一些微小的变化。但是一直等到20世纪70年代，布莱切利园大人科研教规模密码破译工作的成功才为人所知，这时提到它的首席科学家的性取向才是可接受的。今天的情况截然不同，这么多科学家对本书的热情回应反映了人们对于图灵的极大兴趣，包括他的为人以及所做过的事，与图灵相关的一切都成了人们的关注点。真难想象图灵会怎样看待自己的“复兴”或者在科学和历史中的地位。他永远无法知道，自已到底是个默默无闻的密室人物，还是个值得公众注
引言5目的特殊个体。他1950年的论文有着强烈的私人潜台词：它的主题是“智能机器”，同时图灵阐述它的方式是，坚持“我是人类”，并且把注意力引向自己，如同精明的学术媒体今天所做的一样生动。在“发表或毁灭”的世界里，图灵在两边做了不错的妥协。费曼的“物理讲义”非常出名，但是里面没有图灵的“逻辑与计算机讲义”的相应部分。如果费曼放人了这部分，那么整个计算机科学这一新领域就会贴上费曼的名字。图灵1950年的论文发表了，并且成为现代哲学的高引论文之一而1948年的论文毁灭了（至少在1968年前），因而没人知道他的神经网络模型（在本书中，克里斯托夫·托伊舍将描述它）。1948年的论文包含图灵在科学行进中艰苦奋斗的形象：“搜寻新技术一定要视作为全人类，而非为个人。”图灵对自已的知识史一直保持沉默，在描述计算机的本质时，要参考他1936年的论文中提出的通用机器，但是他从来不解释是如何想到通用机器的，以及如何实现“实用通用计算机器”。官方的保密规定会是个问题（他可能永远不能解释自己是如何获得数字电子知识的），可是他也许找到了一个方法来绕过它。图灵拒绝评论他和冯·诺依曼的关系，导致后来的历史学家在阐释这一问题时遇到了很多麻烦。对此，我们能了解到的仅仅是，1946年12月26日的田径运动会后，在《晚间新闻》的体育栏目报道中，图灵“将为ACE（AutomaticComputingEngine）辛勤工作的功劳记给了美国人”。1953年，第一本关于计算机的半通俗读物《比思考还快》给了他展开分析的空间，他给出了如下基本原则：如果人们在数学符号的辅助下能够相当明白地用英语描述一项计算是如何完成的，那么只要存储空间够用，就总能通过编程让数字计算机来完成那些计算。这句话包含图灵对可计算性的定义，以及作为通用机器的计算机的概念。可是没有哪个读者有可能理解它的重要性。（现代逻辑学家和哲学家的眼睛习惯于盯着丘奇论题表述中的微小区别，不负责任且漫不经心。图灵补充说：“这种东西不能清楚地证明，可是对于在该领域工作的人，它就像白天一样清楚。”然而，这并没有使他的描述变得更精确。）那本书的编辑B.V.鲍登在附录的词汇表中用一个词条总结了图灵的成就：图灵机（Turingmachine）：1936年图灵博士写了一篇论文，有关计算机器的设计与极限。基于此原因，有时人们用他的名字来称呼这种机器。其中的日耳曼元音变音u是个不自然且不必要的累赘，它只是大家的猜测一这么难以理解的东西一定是德国人研究出来的。
6引引言1954年后，图灵的声誉跌人更深的死亡沉睡中，部分原因是他的癖好，使他在活着的时候自掘坟墓，还有就是环绕他的审判和死亡的阴影。计算机科学，作为区别于数学而出现的这门工程学科，也没有爱护他。（由计算机学会设立的阿兰·图灵奖是个例外。）另外一个因素可能是，有些数学家长时间瞧不起计算，即使在20世纪70年代计算复杂性理论已经显露出数字计算的数学深度时也是这样。今天全都变了，很大程度上这是由于通用计算机在社会传播的转型中呈现出的力量。图灵的时代现在呈现为愚味的时代，从字面意义上讲，这是由于历史记载的缺失。在探索20世纪40年代计算机的起源时，历史学家发现自己的论断只能基于口头传说的二手故事，而不能依据理性的探索一步步地累积素材。或许，亚瑟王传奇与曾经之图灵有更多的联系，不过现在是时候打开大门，通向图灵之未来了。
第一部分The Once and FutureTuring:Computing the World置身可计算的世界，探索普适性数学在布莱切利园重建的“图灵－威尔士曼炸弹”解码机。照片经约亨·菲霍夫授权
8第一部分置身可计算的世界，探索普适性数学1954年，图灵在《企鹅科学新闻》上发表了他的最后一篇论文，这篇论文向广大读者传达了数学中可计算性的重要性。但他并没有对自己的图灵机做出太多改进：只有一篇论文将它应用于代数学中的一个可判定问题，完全未涉及新兴的计算机科学。这在数理逻辑上留下了一个缺口，直到1958年才被马丁·戴维斯在他的专著《可计算性和不可解性》中系统解决。目前，戴维斯对的略微通俗的工作进行了仿真，在这项工作里图灵对可计算性进行了非常完备的定义。1970年，马丁·戴维斯对这一问题的优美解法做出了主要贡献，并且指出这项工作是如何精炼和拓展了图灵1936年经典论文的关键部分。最令人震惊的是马丁关于普适性和不可计算性的看法。从他与合作者的著名工作中得出的结果优雅地阐明了图灵可计算性在经典层面上的延伸和局限。拟机前景的兴趣。关于这些计算模型能在何种程度上归属于图灵1936年的范式，有许多重要和深刻的问题被提出，并随着虚拟机的发展进入了应用层面。普适性和延伸的概念持续不断地给今天的学者带来基本问题。的一角。这是阿兰·加纳故事的姊妹篇，是同一段岁月中的另一段秘史。他使图灵曾经研究过但从未获得成果的议题重新焕发了生机，这便是类型论。当时人们觉得这个理论十分抽象，现在则将其视为计算机科学（一个在图灵时代并不存在的概念）形式结构的关键，更广泛地讲，与科学理论中语言的使用有关。人科研孝马丁的贡献集中在与大多数现今科学关注点相比鲜为人知但相当基础的观点。罗宾·甘地早期研究论文的标题《关于理论物理学基础理论逻辑结构的一些思考》为科学与逻辑框架接下来的融合提供了清晰关联。之后发展的一个关键方面是图灵和甘地对于丘奇类型论相互关联的兴趣。马丁指出：图灵作为导师对甘地的影响明确和类型论有关，我在开始写这一章的时候想，图灵对这一领域的兴趣很大程度上被遗忘了。
第一部分置身可计算的世界，探索普适性数学9马丁说：“是时候聊聊兴趣了。”紧接着是书中最引人入胜的讨论之一，提出了图灵与众不同的并且往往是有预见性的、以一种相当独特的方式对抽象和具象进行的关联。在此后的一百年间未曾有人涉及此领域，更别提以这样一种权威和博文广识的方式。应安德鲁·布克通过讲述图灵在1939年开始制作的特殊机器和1950年在曼彻斯特计算机上编程的故事，阐述了图灵在解析数论中的工作，为软件如何替代特殊机器编程给出了一个非常好的示例。布克的讨论将话题引到了著名问题黎曼猜想的现代地位和图灵计算理念长久的重要性上。兴趣。在这种情况下，他意识到计算机的出现会不可避免地影响数学证明的本质，并对数学家们如何适应这些改变做出了有远见的猜测。图灵后来写作的一大主题是思索计算机如何与人类创造力相辅相成，以及思维和机器之间平衡的演变。正如布克所说，这个越来越重要和复杂的关系甚至可能会导致道德方面的影响。有感于我们对图灵战前的密码学思考和新兴的密码安全问题知之甚少，乌力·毛勒讲述了另一个平行的故事。他这样来描述这一部分：计算和信息是计算机科学中两个最基础的概念，就像质量、能量、时间和空间是物理学中的基础概念一样。作用。除了现代密码学的实际问题之外，他的讨论还涉及另一当代尚未解决的重大问题，即P=？NP问题。乌力·毛勒写道：人们只能猜测，如果图灵在理论密码学上花费更多时间的话，他能够在这一领域取得什么样的成就。个人科价但是图灵在1938年之后所做的工作仍然是个秘密。黛利拉的语音加密项目报告持续50年都不为人知，直到2012年全文才被发表。同样在2012年，两篇相当基础的图灵论文被公开，这两篇论文解释了贝叶斯分析的基础和它在海下来也许还有更多值得期待。GCHQ为纪念图灵诞辰一百周年而及时发布的新版本让我们回忆起阿兰·
10第一部分置身可计算的世界，探索普适性数学图灵在布莱切利园做出的最具原创性和重要意义的贡献。能够造出用来拦截在第5章中，统计学家坎蒂·马蒂亚和逻辑学家巴里·库珀仔细分析了发生在布莱切利园的这一段历史，并谈到了对于我们现在的“大数据”而言统计的重要性。“恩尼格玛统计学是现在所谓的统计生物信息学的前身”，这一章中写道。通过翔实的示例、内容大纲和已发布的重要论文，马蒂亚和库珀把我们带约”而使用的抽样技术。从这种角度，他们讲述了图灵的贝叶斯技术发挥的译码作用如何使我们在更广的语义中理解“大数据”面临的挑战。
第1章The Once and Future Turing: Computing the World算法、方程和逻辑马丁·戴维斯有史以来，人们一直通过算法来和数字打交道。算法是机械地依照一系列指令实现的过程，而不需要任何创造性的思维。20世纪30年代前人们从未觉得需要精确的数学定义或特征来说明什么是“算法”。然而，在那些年，为了尝试证明一些问题没有算法解答时，这种需求出现了。1935年，阿兰·图灵独自在剑桥大学研究这个问题。同时，在普林斯顿大学，库尔特·哥德尔、阿隆佐·丘奇、丘奇的学生斯蒂芬·克莱尼和J巴克利·罗瑟正在研究相同的问题。从20世纪20年代起，E.L.波斯特也像图灵一样开始独自思考这些问题。尽管他们最后得出的公式看上去有着天壤之别，但它们其实是等价的。关于算法过程的这些共识后来被称为丘奇一图灵论题。图灵的构想与其他人的区别在于，他是通过一台抽象机器来表示的。其特性的惊人之处在于他表明了只要有无限的数据存储能力，就算用非常有限的基础操作也足够实现所有算法。进而，他展示了无论是什么算法，都可以设计出一台称为“通用机器”的机器来实现。这些远见在现代多用途计算机的发展中扮演着至关重要的角色。但是，这些也会变成更加清晰的、通用性更广的理念延伸至与计算相距甚远的数学领域。图灵1936年的这篇论文在许多地方被重印过多次。
12第一部分置身可计算的世界，探索普适性数学图灵从数学逻辑的一个问题开始他的研究，这个问题的重要性被大卫·希尔伯特特别强调，其内容如下：找到一个算法来判定根据给定前提和逻辑推理能否得出一个特定结论。到1935年，有足够的理由相信这一算法并不存在，而这正是图灵要证明的。图灵先从用他的机器找到一个不可解问题开始，看它对于一台给定机器是否会输出0。然后他展示了如何将这个“输出”问题转换为数理逻辑语言，这样就能使用一个算法来解决这个输出问题，而后面他将证明这不可能实现。之后，波斯特用输出问题的不可解性证明了之前提出的半群单词问题同样不可解。再之后，图灵使用一个复杂构造改进和拓展了波斯特的结论。图灵优美的论文（Turing，1954）清晰简洁地向大众解释了不可解性。当图灵发现这项工作得出的结论与他在普林斯顿所做的工作类似时，他前往普林斯顿并在那里待了两年。一个被称为可计算性理论、递归函数论或者递归论的数学新分支正在蓬勃发展。这个分支的一个方向是证明来自数学各个分支问题的不可解性。本章将会讲述这个过程。1.1方法概览我们的讨论限制在自然数0，1，2，3，·中，我们将使用三种不同的方法来获取一个特定的自然数集合：?一个能判定元素是否属于集合的算法。·一个有解方程的参数值。考察这些概念如何互相联系将会得出惊人和深远的结论。1949年，当我还是研究生时，我猜想上面三个中的两个是等价的，即自然数集和通过自然数集确定的集合是一样的。尽管这个猜想若为真可能会有非常重要的影响，但它看上去不像真的。我很难想象会需要20年来证明这一猜想，参与人员包括美国最杰出的哲学家、第一位人选美国国家科学院的女数学家、一位年轻的俄罗斯数学家和我自己。虽然数学上严格的处理需使用由图灵和之前提到的其他人提出的技术概念，但在本章大部分内容中，算法将以不那么严格的松散方式处理。
第1章算法、方程和逻辑131.2例子：完全平方数集通过将自然数乘以自身而获得的数称为完全平方数。因此，完全平方数的集合是10，1，4，9，16，25，……。列出完全平方数的算法从0开始，重复添加1，生成所有自然数的序列。每生成一个数字，乘以它自己并将结果放在一个列表中。注意，完全平方数是无穷多的，所以列出这些数的计算将永远持续下去。下表第二行中展示了完全平方数列表：01.23450-1491625定义如果一个自然数集合存在列出其所有元素的算法（允许重复，可以任何顺序列出），则这个集合称为可列集。用于判定某个数是否隶属完全平方数集合的算法要判定某给定数n是否是一个完全平方数，可如之前所述那样有序列出完全平方数。如果某个完全平方数等于n，即可停止程序，并判定n是一个完全平方数；如果一个完全平方数大于n，也可以停止，并判定n不是一个完全平方数。定义如果对于一个自然数集，有一个算法可以判定其元素所属，则这个集合称为可判定集。使用方程指定完全平方数的集合在方程a一x=0中，我们将a视为参数，x视为未知数。这意味着对于不同的a值，我们欲寻求满足方程的自然数x。因为这个方程明显等价于=x，所以存在这种解的a的值正好是完全平方数。仅通常当我们使用“方程”一词时，可以将其看成一个等于0的多项式表达式。多项式表达式可以涉及任何数量的未知数，并且还可以包括参数a。可以通过使用加法、减法和乘法组合字母及任意数量的自然数常数来形成表达式。下面是一些多项式表达式的例子：可以代替“可列”的术语：可递归枚举、可计算枚举。可以代替“可判定”的术语：可计算、递归的。
14第一部分置身可计算的世界，探索普适性数学x²-17²-2x²-x²y+3axy²（16+a²）（ax+y²)定义如果有一个带有参数a的多项式方程有自然数解，那么a的可能取值组成的自然数集合称为丢番图集。去番图集的例子a-（x+2）（y+2）=0定义了合数集，即大于1的非素数。的奇因子）。●佩尔方程x²-a（y+1）²-1=0已被很好地研究过。可以证明，除了明显的解，当α不是一个完全平方数时它有解。1.3一些关系定理每个可判定的集合也是可列的。证明令S是可判定集。按顺序生成自然数。随着每个数字的生成，测试它是否属于S。如果是，将它放在一个列表中。移动到下一个自然数。该算法将列出S的元素。口集合S的补集，写为S，是不属于S的所有自然数的集合。定理集合S是可判定的，当且仅当S和S都是可列的。证明如果S是可判定的，那么显然S也是可判定的，因此两者都是可列的。另一方面，如果S和S都是可列的，那么，给定一个数字n，我们可以按如下方法判定它是否属于S。我们用两个列举算法开始制作S和S的列表，希望看看n最终出现在哪个列表中。然后我们将知道n是否属于S。口不可解性定理有一个可列集K，其补集是不可列集，那么K是不可判定的。学使用证明见附录。口定理所有丢番图集都是可列的。证明令S是一个丢番图集，由一个含有参数a和未知数x，，x的方程表述。有序列出所有形如（a，x，“，x）的（k+1）元组，然后依次测试。给元组排序时，可以引人从小到大排列的自然数，对于每个自然数，均列出那些包含该自然数与该自然数之前的自然数元组。元组排序如下：（0，0>，<0，1），（1，0），（1，1），<0，2>，<2，0>，<1，2>，<2，1>，<2，2>，·
第1章算法、方程和逻辑15对于每个元组，将数字代人方程。检查这些数字是否满足公式只是一个算术问题。如果方程由特定元组满足，则将来自该元组的a的值置于列表上。该算法将列出S的元素。口1.4猜想变成定理的故事1950年写博士论文的时候，我冒着风险写下如下猜想：猜想每个可列集也是丢番图集。表面上这个猜想相当不可信。为什么可以通过算法列出的任何集合也可以通过简单的多项式方程来表示？此外，出于某些我之后会解释的原因，这个猜想暗示着一些相当不可信的结论，即存在常数m和n，使得每个去番图集可以由小于等于m的度数和小于等于n的未知数方程指定。然而，如果这个假设为真，将可以引出对一个著名希尔伯特问题的解答。在1900年国际数学家大会上，大卫·希尔伯特列举了23个问题作为未来的挑战。这些问题被称为希尔伯特问题，除了它们的内在价值之外，这些问题已经引起了特别关注，这源于希尔伯特在数学界的领军地位。列表中的第十个问题可以表述如下：问题找到一个算法来判定具有整系数的任何给定多项式方程是否具有自然数解。不难看出，若我的猜想为真，则会以否定的方式来解决希尔伯特第十问题，即没有这样的算法存在。原因是我的猜想意味着从上文不可解定理得到的集合K是丢番图集。因此，在参数a属于K的情况下，给定a为参数的方程将有解。因此，如果存在希尔伯特所要求的算法，则其可以用于判定集合K的元素所属，这与K不可判定的事实相矛盾。尽管它显然不可信，但我有理由认为我的猜想可能是真的。我能够证明有一个丢番图集S，其补集S不是丢番图集。与不可解定理相比，这一结论是很惊人的。我的证明非常简短，但不具建设性（即证明没有给出任何这样集合的示例，而只能证明它的存在性）。易知丢番图集是一个与可列集具有其他共同事实上，希尔伯特想找一个对于任意整数（正整数、负整数和零）均成立的算法。然而，不难证明，这两种形式的问题是等价的。
16第一部分置身可计算的世界，探索普适性数学属性的类。我试图证明这个猜想，但如我的论文中所述，我能做到的是证明对于每个可列集S，存在一个含参数a、g和k的方程，使得数a属于S当且仅当有一个数9，对于q=9和所有k≤9o，使方程有解。尽管这和我想要的相差甚远，但这个结果在接下来的过程中发挥了重要作用。当我参加1950年在哈佛大学举办的国际数学家大会时，我结识了数学家朱莉娅·罗宾逊，她所做的工作我非常熟悉，她也一直在研究丢番图集。但是，我一直循着自顶向下的方式开展研究，试图为可列集找到一个类似丢番图集的表达方法，而她一直循着自底向上的方式，尝试不同集合的丢番图定义。阿尔弗雷德·塔斯基曾建议应证明2的幂集1，2，4，8，16，不是丢番图集。朱莉娅被这个问题所吸引，但她没有成功地证明塔斯基提出的猜测，转而试图证明2的幂集是去番图集。当然，如果塔斯基是对的，那么我的猜想就是错的。而朱莉娅也不能证明这个集合是丢番图集。但她证明了，如果可以找到一个（我称为）金发姑娘方程，那么不仅2的幂集是丢番图集，而且素数集以及许多其他集合也是丢番图集。在民间故事中，金发姑娘偷偷来到小熊家，看到椅子、食物和床时，她都先确定哪些太大，再确定哪些太小，最后才找到那些“刚刚好”的。这里我们考虑具有两个参数a和b的方程。如果存在使方程有解的a和6满足b>a°，则这样的方程太大了。如果有一个数k，使得对于使方程有解的所有。和6满足b≤a*，则它太小。因此，当一个方程既不太大也不太小时，才是刚刚好的金发姑娘方程。朱莉娅试图找到这样的金发姑娘方程，但她没有成功。1957年夏天，希拉里·普特南和我开始在康奈尔大学历时一个月的“逻辑学院”内合作。我们在那个夏天获得了一些初步结果，但突破发生在两年后。我们的想法是看看如果在方程里允许有可变指数，我的猜想会有什么变化。因此除了像x²y-7ya²z+5=0这样的方程，我们也考虑像x²y-7y²a²z+5=0这人科研教仅供个人样的方程。虽然我们从我的论文开始入手，但是引入可变指数恰好将我们带人了朱莉娅·罗宾逊的领域，我们发现自己在使用一些她的方法的推广。由带有一个参数的方程指定的集合（其中允许可变指数）称为指数丢番图集。我们试例如，两个丢番图集合的并集或者交集依然是丢番图集。利用逻辑符号a∈S=（3g）（k）≤g（3x，x）[p（a，k，q，x1，，x）=0]，其中，p是一个整系数多项式。
第1章算法、方程和逻辑17图证明：每个可列集都是指数丢番图集（***）我们接近目标了。但是我们必须利用一个虽然被广为相信但尚未证明的素数性质：PAP对于任何自然数n，必有素数p和自然数k使得自然数p，P+k，P+2k，..，P+nk都是素数。我们试图证明：定理如果PAP是对的，那么（***）也是对的。实际上，我们现在知道PAP是对的，因为它已在2004年被证明。所以在某种意义上，我们的关于（***）的证明也是正确的。但是在1959年，没有时间机器，我们不得不满足于仅仅只有暗示。金发姑娘方程的存在也引人注目。从朱莉娅的工作中很容易得出，如果有一个金发姑娘方程，那么每个指数丢番图集也是丢番图集。希拉里和我引入了缩写：JR存在一个金发姑娘方程。所以我们已经证明，如果JR和PAP都是真的，那么我的猜想也是真的。我们写下了所有这些用于发表，当然，也发送了一份副本给朱莉娅。她很快给了回复：她对我们的工作表示高兴，并告诉我们，她已经找到了规避PAP的方式。她的第一个对（***）的证明相当复杂和巧妙。但后来，她大大简化了它，实际上，她将证明分成一个不需要素数的部分，并展示了在仍需素数的证明部分如何规避PAP。我们三个人同意合著一份带有脚注的论文，标注各自做出的贡献。所以现在，为了证明我的猜想，仍需证明JR，即找到金发姑娘方程。但尝试十年，我们中还是没有人能够想到如何构建一个金发姑娘方程。普遍的意见仍然是，我的猜想是错的，所以，仅仅是金发姑娘方程不存在而已。在那些年我对我们的工作做宣讲的时候，常常指出如果没有金发姑娘方程，那么每一个具有两个参数的方程都会变得太小或者太大，这和我的猜想一样令人惊奇。在提问阶段，有人几乎确定地问我关于这样的方程的存在性问题。我打趣道：“噢，我觉得JIR是对的，它将被一个年轻聪明的俄罗斯人所证明。”事实证明我是一个预言家。那位俄罗斯人叫作尤里·马季亚谢维奇，他在1970年，在他还是22岁的时候，就展示了一个金发姑娘方程。尤里使用了著名的斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，（除了前两个数以外，每个数都是它之前
18第一部分置身可计算的世界，探索普适性数学两个数的和）。如果把第n个斐波那契数写作F，那么尤里的等式有u和v两个参数，并且这个等式的解满足形式u=F。根据我们对斐波那契数的理解，这显示了他的等式确实是“刚刚好正确”。在我提出猜想20年之后，它最终从猜想演变成了定理。因为马季亚谢维奇在证明中使用的非常美丽的构造，这个定理常常被称作马季亚谢维奇定理。它也常常被称为MRDP定理，来彰显我们四个人在这个定理构建过程中所扮演的角色。尤里自己也慷慨地建议把它叫作DPRM定理：马季亚谢维奇/MRDP/DPRM定理如果一个集合是可列的，那么它同样是丢番图的。这个定理有令人惊奇和十分重要的结果，部分结果已经在前面提及，但值得在这里重述一下。回想一下集合K是可列的，但不是可判定的。推论存在一个多项式p。（a，x，，x），使得等式p。（a，x，，x）=0确定了集合K。因此，不存在这样一个算法，该算法可判定对于一个给定值a，是否存在一系列自然数x，，x满足该等式。之前已经提到，这表明：希尔伯特第干问题（丢番图方程的可解性）的不可解性推论不存在这样一个算法，该算法可判定对于一个拥有整系数的多项式方程，该方程是否具有自然数解。1.5通用方程结合图灵通用机器和马季亚谢维奇/MRDP/DPRM定理，可以证明如下结论：通用方程定理存在一个等式p（n，a，x，，xk）=0使得对任意可列集S，存在数n使得S和所有使p（n，a，x，，x）=0有解的a组成的集合相等。因为可列集和丢番图集为同一集合，所以我们可以将定理改写为：人科研教学使用通用方程定理存在一个等式p（n，a，x，，x）=0，使得对任意丢番图集S，存在数n使得S和所有使p（n，a，x，，x）=0有解的a组成的集合相等。注意在这个形式的通用方程定理中没有提到算法，所有的一切都是关于多项式方程和自然数解。正是这种结果导致我的猜想看上去十分不合理。在乔治·克莱索尔审查我和希拉里还有朱莉娅一起写的论文时，他提到需要对不确定数k确定边界来辨识任何给定的丢番图集，以此作为怀疑我们的工作和希尔
第1章算法、方程和逻辑19伯特第十问题之间联系的原因。同时他没有提到我们有关于金发姑娘方程的存在将会推出这个问题（希尔伯特第十问题）不可解性的证明。确定k的最好可能值自然是一个有趣的问题。尤里和朱莉娅一起合作并得到了k=13。之后尤里改进为k=9。在两种情况下多项式的次数都非常之高。对一个16次的多项式，我们可以得到k=29。1.6素数和一个丑陋的多项式这里存在另一种用多项式来列举正数的方法：把所有自然数连续赋值到变量中然后计算多项式的值。如果这个值是一个正自然数，那么把它添加到列表中。如果这个值是0或者负的，则忽略它。在下面的表中分别计算了x=0，1，2，3，4，5和y=0，1，2，3，4，5时多项式5x²-2xy-3y²的值。提取出其中的正值，那么对应的表为15，20，13，45，36，21，80，69，52，29，125，112，93，68，37，.5x²-2xy-3y25x²-2xy-3y²yxy0003045-30313602-12322103-27330-48-270434-750535-60105408001416912-11215213-284329-5144401-80-351550220512502研教学1351112052293仅供个2-19533892-44544372-75550使用一种巧妙且简洁的技巧，希拉里·普特南发现每一个正自然数丢番图集都可以用把它作为多项式正值的集合这种方法获得。以下解释了希拉里的方法是如何工作的：假设对某一个丢番图集p（a，x，，x）=0是一个包含参数a的有
20第一部分置身可计算的世界，探索普适性数学自然数解的多项式，并且那些。的值（有自然数解的a）正好是集合的元素。在这种情况下，希拉里多项式将会变为a[1-（p（a，x，，x））²]。除了在p等于0时，该多项式为0或者负值。当p真的为0使得a的值成为集合元素时，希拉里多项式将会估值出和a相同的值。因此希拉里多项式的正值正好是给定丢番图集的元素。素数2、3、5、7、11、13、17等只包含两个因数，即1和它自己，它们一直是数论学家的最爱。在我的猜想成为定理之前，我喜欢把下面这个问题抛给数论学家：找到一个多项式，使得它的正值正好是素数。一种我经常得到的快速回应是应该不会很难证明没有这样的多项式。他们自然找不出证明方法，因为马季亚谢维奇定理和希拉里方法表明一定存在这样一个多项式。下面就是满足这个条件的一个多项式：（k+2)11-[wz+h+j-g]²[2-y+（+y)（1+y++y)]--[2n+p+g+z-e]²-[16（k+1)²（k+2)（n+1)²+1-f²]²-[e²（e+2)（a+1)²+1-o²]²-[（a²-1）y²+1-x²]²-[16r²y（a²-1)+1-u²]²-[n+e+v-y]²-[（（a+u²（u²-a）)²-1）（n+4dy)²+1-（x+cu）²]²-[（a²-1)e²+1-m²]²[x-（z-d-d-+d)s+（1-d-D)+b]-[ud-（I-d-doz)+（d-D)zd+z]--[ai+k+1+e-i]²1[u-（-u-2u-D+u)q+（I-u-D)+d]-人科研教学使用在一篇由JP.琼斯、D.佐藤、H.瓦达和D.韦恩斯写的论文中，已经证明了当变量的值为自然数时，该多项式的值是素数。我不认为所有人都觉得这个多项式很美。我想说的是，只有它的发明者会爱它。但是我认为它的丑陋性对于解释为什么我的猜想看上去不合理是有帮助的。这个复杂的式子并不是数学家脑海中出现的、满足条件的多项式该有的样子。确实，当考虑到出现在他们脑海中更加漂亮的式子时，我的猜想
第1章算法、方程和逻辑21确实应该是不合理的。1.7逻辑一个形式逻辑系统提供：·一种将命题用一串符号表示的特殊语言。·一个包含初始符号串或者“公理”的列表。·从已有符号串推断出新符号串的规则。因此获得的符号串被称作该系统的定理。在我们的认知中，一个形式逻辑系统提供了一种用于产生一系列它自已的定理的算法。我们将会使用之前介绍的等式P。（a,x,.,x）=0(1.1)该等式可确定一个不可判定集K。假设是一个特定的形式逻辑系统，对于每一个a=0，1，2，·，我们用符号串I。来表示如下的命题：命题方程式（1.1）在自然数x，，x下无解。注意这个命题和说a属于集合K是等价的。定义，如果一个符号串IⅡI。是史的定理，且代表的命题是正确的，例如，数a属于集合K，那么我们说这个系统是完备的。！哥德尔不完备定理C是完备的，那么存在数a使得方程式（1.1）无自然数解，即使I。不是的定理。证明否则，将有a∈K当且仅当IⅡI。是的定理。所以通过列出中的定理表并当Ⅱ。出现在定理表中时把。放到第二个列表中，我们可以获得一张K的元素表。但这是不可能的，因为飞是不可列的。命题。口这表明我们需要构建更健壮的形式逻辑系统来尝试证明更多的定理。然而，这种努力不会改变多项式P。，它们仅仅改变了a的值。母庸置疑的是，对一个足够证明大量数学定理（就像那些基于公理的集合论定理和普通谓词逻辑）的健壮形式逻辑系统而言，发生由于a的值导致无法被证明的真理的出现是十分普遍的。
22第一部分置身可计算的世界，探索普适性数学1.8关于数学大约50年前，我第一次去欧洲旅游，当时我和妻子正坐在威尼斯一座公园的长凳上，我的两个小儿子则在地上推玩具汽车。一个男人过来加人了我们的谈话。这对于我们来说是一段非常艰难的对话，因为他只会说意大利语，而是我们刚好带了词典，勉强能够交流。他向我们展示了家人的照片，从中我们得知他是造威尼斯小船的。我们当然知道这种可以让我们浪漫地环游威尼斯的小船，但是我们从没有想过这种船是怎么造的以及谁来制造它。他告诉我们这种船是用一种特殊的木头制造的，没有钉子和螺丝之类的连接结构。他画了一张把船的各个部分连接起来的连接处的草图。最后，他转向我，想要知道我的职业。在词典的帮助下，我成功地告诉他：“数学家。”这使他做出了一系列让我们难以理解的举动。最后我意识到他试图告诉我们：“在上学的时候，数学一直是他最差的那门课。”听说很多人都和这位船工有相似的经历，让我觉得数学家向普通大众讲述我们试图从某些抽象概念中获取令人激动的特性是多么鲁莽。我们也意识到，如果仅仅用符号化的语言来简略地表示复杂的数学问题会导致大部分读者对此失去兴趣，这样，我们需要尽可能少地包含数学公式。尽管很难想象没有高等数学基础的读者是如何读懂斯蒂芬·霍金的《时间简史》的，但这本书还是在没有任何数学公式的情况下取得了空前的成功。本书中这一章的第一版在交给出版社的时候是没有关于素数那一部分的，因为我害怕读者可能不喜欢大量的公式。在某位编辑的建议下，我才把那一部分加了进来。总之，需要这本书的读者来判断我是否真的将数学探索过程中的那种快乐与斗争的感觉带给了他们。阿兰·图灵的写作风格清晰简洁，即使在他的技术论文中也如此。下面我仅供个人们看一个例子，这是图灵在某数学期刊上发表的一篇具有历史意义的论文（Turing，1936），如此平实的语言在复杂难懂的数学论文中实在不常见：计算通常来说能够通过在纸上写特定的符号来解决。我们可以假设这张纸被分为许多方格·在基本算术中，我们有时候会用这张纸的二维特性，但是这样的情况总是可以避免的··之后，我假设所有的运算都发生在一张一维的纸上，例如，一条被分为许多格的纸带。
第1章算法、方程和逻辑23图灵就这样开始了他对计算过程的分析，他证实了通过一系列简化，任何可计算的问题都能够用他那台简单设备进行计算，这台设备也就是我们常说的图灵机。图灵在1954年的一篇论文中通俗易懂地向世人解释了何谓不可解性。他从介绍几个大众熟知的困难问题开始，逐渐讲到为什么某些简单的过程（比如字符串中字符的替代）会导致某些算法不可解问题。图灵向公众解释何谓不可解性的工作与我在这里所做的非常一致。在本书中，我主要写一些自已在这方面所做的事，而图灵却不同，他是个非常谦逊的人。在图灵那篇文章的最后，他介绍了六个不可解问题。读者们可能想不到，这六个问题中有两个的不可解性是由图灵自己证明的。1.9关于朱莉娅·罗宾逊的电影尤里、希拉里和我一起看过一部由乔治·齐哲瑞导演的一小时纪录片，讲述的是朱莉娅·罗宾逊和希尔伯特的第干问题。相关资源见：·http://www.zalafilms.com/films/juliarobinson.htmlhttp://www.ams. org/ams/julia.html附录：不可解性定理的证明不可解性定理如果一个可列集K的补集K不可列，那么K是不可判定的。证明我们确定一种特定的程序语言，用它来实现列出一个集合中所有元素的算法。在这种语言下所有可能的程序可以表示成如下序列：对于=0，1，2，，我们令S表示被列举出的集合。K是由所有那些ieS的i组成的集合。这样我们声称：K是可列的。对于任意n=1，2，3，…，运行程序，，，n步。用如下方法输出一个序列：每当输出i的时候，将i放入待输出的序列中。K是不可列的。我们假设K可以被程序9列举，那么我们要问：i∈K成立吗？如果成立，那么i可以被列举，进而i属于集合K。这是矛盾的。
24第一部分置身可计算的世界，探索普适性数学所以i只能属于K。根据定义，i∈S，即i可以被列举。也即i∈K，同样矛盾。口参考文献Davis,Martin,Computability and Unsolvability.McGraw Hill,New York (1958).Reprintedwith an additional appendix:Dover,NewYork(1982).DavisMartin,Hilbert'sTenthProblemisUnsolvable,AmericanMathematical Monthly,80,233-269,(1970);reprinted as an appendix in the Dover reprint of Davis (1958).Davis,Martin,Yuri Matiyasevich,and Julia Robinson,Hilbert‘s tenth problem:Diophan-tine equations:positive aspectsofa negative solution,Proceedings of Symposia inPureMathematics,28.323-378,（1976).ReprintedinFeferman(1996),pp.269-324.Feferman,Solomon,editor,Collected Works ofJulia Robinson.American MathematicalSociety,Providence,RI (1996).Matiyasevich,YuriV.,DesyatayaProblema Gilberta.Moscow,Fizmatlit (1993).Englishtranslation:Hilbert's Tenth Problem.MIT Press,Cambridge,MA (1993).Frenchtranslation:Le dixiemeproblemedeHilbert.Masson(1995).Matiyasevich,YuriV.,My CollaborationwithJuliaRobinson,Mathematical Intelligencer,14,38-35（1992).Corrections,15,75,(1993).Reprinted in Mathematical Conver-sations:Selectionsfrom theMathematicalIntelligencer,RobinWilson andJeremyGray,editors,Springer,New York (2001）.Alsoreprinted in Reid (1996）.Frenchtranslation in Gazette des Mathematiciens,59,27-44,(1994).The French translationwasreprinted in theFrenchversion of Matiyasevich (1993).Matiyasevich,Yuri V.,Hilbert'sTenth Problem:Diophantine equationsin the twentiethcentury.In Mathematical Events of theTwentieth Century,A.A.Bolibruch,Yu.S.Osipov and Ya.G.Sinai,editors, Springer-Verlag,Berlin;PHASIS,Moscow,Pp.185-213,(2006).Petzold,Charles,TheAnnotated Turing:A GuidedTour throughAlanTuringsHistoricPaperon Computability and theTuringMachine.Wiley(2008).Reid,Constance,Julia:A Life in Mathematics.Mathematical Association of America(1996).Turing,Alan,On computable numbers with an application to the Entscheidungsprob-lem,Proceedings of theLondonMathematicalSociety,ser.2,42,230-267,（1936).Correction:ibid,43,544-546,(1937).ReprintedinCollectedWorks:MathematicalLogic,R.O.Gandy and C.E.M.Yates,editors,North-Holland,Amsterdam (2001),Pp.18-56.Also reprinted in The Undecidable,Martin Davis,editor,Raven Press(1965),Dover(2004),pp.116-154.TheEssentialTuring,JackCopeland,editor,Ox-ford (2004),Pp.58-90,94-96.See alsoPetzold (2008).Turing,Alan,Solvable and unsolvable problems,Science News,31m 7-23,(1954).Reprinted in CollectedWorks of A.M.Turing:Mechanical Intelligence,D.C.Ince,editor,NorthHolland,pp.187203,（1992）.Alsoreprinted inTheEssentialTuring,人科研教JackCopeland,editor,Oxford,pp.582-595,(2004).Yandell,Benjamin H.,The Honors Class:Hilbert's Problems and Their Solvers.A.K.Peters,Natick,MA(2002).
第2章The Once andFuture Turing:Computing theWorld被遗忘的图灵OJ.M.E.海兰罗宾·奥利弗·甘地（1919—1995）的回忆2.1引信阿兰·图灵因其诸多贡献而被后人所铭记。众所周知，他对密码破译有所贡献，并在某种意义上发明了计算机。同时，他可能更因人工智能之父的称誉而出名。他不仅是一个数学家，更是一个数理逻辑学家和形态学家。图灵的那篇著名论文《入演算》（Turing，1939b）中关于可判定性问题的讨论令其载人逻辑学史册。另外，对于那些专业人士来说，图灵的贡献还在于其在伦敦数学学会发表的另一篇著名论文（Turing，1939）。图灵的这些工作都是在1940年之前完成的。然而，很少有人意识到，直到图灵逝世，他对于逻辑学一直有很大兴趣。此外，人们更是忽略了图灵后来对类型论这种基础数学理论的研究。事实上，图灵在这方面影响深远。下面，我将介绍图灵在这方面的故事，那是一段传奇。2.2唯一的学生我在牛津大学的博士生导师是罗宾·甘地。他是图灵唯一的博士生，也是
26第一部分置身可计算的世界，探索普适性数学图灵最好的朋友之一。尽管图灵只有一个学生，但甘地却有很多学生。我属于甘地在20世纪70年代的那批学生。甘地十分热衷于将自已的学生称作图灵的徒孙，我们对此倒不是特别在意。但通过甘地的回忆，我们确实能够从一个非常了解图灵的人那里听到许多关于图灵的事迹。1940年，甘地在剑桥大学国王学院的一次聚会上遇到了图灵。那时候，甘地是一个三年级的学生，而图灵已经在战争开始后中断了在国王学院的工作，转而在布莱切利园破解德军密码。在战争期间，甘地成为图灵的好朋友，之后成了他的学生。在图灵去世之前，甘地已成为莱斯特大学应用数学专业的讲师。我们可以在安德鲁·霍奇斯（1983）撰写的图灵传记中读到他俩的故事。这里，我会集中讲述图灵作为甘地的博士生导师对其产生的影响。在一般人眼中，图灵的学生也应该是享有盛誉且名副其实的数学家。然而，甘地并不是一个聪明绝顶的天才，我认为如果没有图灵对甘地的淳淳教诲，他恐怕难以成为一个严谨的逻辑学家。我们这些图灵的徒孙们更是受益匪浅。2.3回忆1971年，我开始跟随罗宾·甘地开展研究工作。那时，我比较迷茫，留着一头长发，对数学其实没什么概念，而甘地已是英国逻辑学界的领军人物了。他在自己的领域做出了杰出贡献，并且有了以自己名字命名的重要成果。作为牛津大学数理逻辑方向的讲师，他和迈克尔·达米特一起开设了“数学与哲学”的新课程。他是沃夫森学院的高级会员，并且在那儿一直到退休。我们看上去应是相距甚远，然而不知怎地却并非如此。所有甘地的学生都知道他那出众的个性。他不是人们通常认知中的那种学者。他看起来一点儿都不严肃，相反，他非常风趣，对生活充满热情。他说话声音很大，在酒吧里你很容易就知道他在哪儿。在我认识他的时候，他已经不再穿皮衣、骑摩托车了，但他依然非常帅气。他不修边幅，好几次在上课时都看到他把衬衫塞进了内裤。确实，他并没有那种一般意义上的魅力，但却拥有在《数理逻辑简报》（Bulletinof SymbolicLogic，MoschovakisandYates，1996）上，他的讣告曾对其杰出的生涯做出了高度评价。
第2章被遗忘的图灵27一种独特的人格吸引力。他享受那种坏坏的感觉：他有时候会淘气地回忆起，自己曾经是个非常乖的孩子。他偶会被逗乐，然后给你一个夸张的反应。但我认为，即使在他年轻的时候，他也是个非常有个性的人。我相信，甘地的传奇经历和他那不同寻常的个性或多或少掩盖了他热情的一面。达米特在1995年的一次纪念会上说，甘地喜欢人的方式就像某些人喜欢猫一样。像猫一样，人们也喜欢甘地（甘地本人也确实喜欢猫）。甘地身上有一种特殊的豪爽精神，我想这也是甘地最初吸引图灵的原因吧。一对于任何人来说，用这么简短的描述都是不公平的。到自前为止，我已经忽略了甘地的一个重要方面。这可能不适用于其他逻辑学家：他并不热衷于数理逻辑。当然，他远远不是我们想象中那种无趣的逻辑学家。那么他又是怎样成为逻辑学家的呢？2.4早年时光甘地在二战期间进行过与雷达相关的研究，被安排在汉斯洛普园，恰巧图灵在离开布莱切利园后也来到了这里。他们连同甘地的猫提摩西一起，在同一屋檐下相处了若干时光。1945年，甘地结束了他长达四年的军队工作，回到了国王学院。翌年，他以优异成绩通过了剑桥大学荣誉学位测试的第三部分。在接下来的几年里，他致力于物理学的基础研究，并为获得一份奖学金而努力。1949年，在隔了这样一段适当的时间之后，他申请了国王学院的内部研究奖学金，而该奖学金要求他提交一篇论文。甘地的论文题目是《关于理论物理学基础理论逻辑结构的一些思考》。很遗憾国王学院没有保存报告的副本，但庆幸的是档案整理者帕特里夏·麦奎尔找到了该奖学金评审的三份专家报告。当时在曼彻斯特工作的图灵就是专家之一，另外两位专家是圣约翰学院的弗兰克·史密斯，以及国王学院的奈特布里奇（一种荣誉称号）伦理学教授理查德·布雷斯韦特。从报告可以看出，甘地的论文讨论了科学理论与经验观察的关系。为此，他设计了一个类似图灵机但更加复杂的机器，用来从数据推导出科学假设。图灵很用心地审阅了他的报告。仅仅是在综合评估部分，图灵就做了长达三页的评论。评估的最后一段内容如下：一个不那么自命不凡的方法有可能会为它赋予更多内涵。这些可以通过举例和类比完成。（作者）在一些关键点给出了示例并使之成为这篇论文最
28第一部分置身可计算的世界，探索普适性数学优秀的部分。具体的批评数不胜数，但这正反映了评阅人对作者缺点的勤勉指正。大多数这种性质的论文都太容易被批评。我相信在一年的时间里，甘地能够创作出一些值得这份奖学金的成果。，在其他评审人中，史密斯对甘地的雄心表示赞同，但觉得这份工作不切实际，而布雷斯韦特则持怀疑态度。最终，甘地遗憾地落选了。图灵认为，甘地应该能在接下来的一年里做出一些值得这份奖学金的成果。甘地在1950年再次申请，并提交了一篇题名更直接的叫作《物理基础》的论文。同样，论文已经找不到了，但是帕特里夏·麦奎尔找到了其评审报告。同样，报告是由图灵写的，但其评论开始变得尖锐了：我对这篇论文感到非常失望。报告继续写道：作者有很好的想象力和想法，但他并没有将这些贯彻下去。一方面因为他在技术上的欠缺，另一方面因为他在实际写作中花的时间太少了。他认为符号逻辑是一些普遍思考的正确媒介，这是正确的。但不幸的是，他对于符号逻辑并没有足够的认识，以至于他不能成功地完成程序。他对“无差异群”课题的想法是非常振奋人心的，不过我最感兴趣的是它们所导出的结论。但显然，最后的结果和阐述的情况差得太远，而且这似乎也不可能只通过微小改动来纠正。这真的够了，但图灵又用了半页纸的详细分析来证明他对于这个报告的批评。图灵找到了一系列问题，一些是由于缺乏清晰的陈述，一些是由于逻辑和数学中的明显错误。第二个评审者麦克斯·纽曼虽然没那么尖刻，但也不再支持甘地。甘地的奖学金申请又失败了。图灵的两份评语有一个有趣的对比。第一份是完全客观冷静的，甚至都看不出来图灵是认识论文作者的。第二份则完全不同，那种失望更像是带有个人感情的，而且明显是基于他的个人体会：图灵提到了论文的写作时间和甘地对于符号逻辑了解的乏。图灵近乎残酷的意见表明，他没有让个人友谊影响他对论文的判断，当然他对于朋友的失望却也跃然纸上。让我们在这一点上做个总结。1950年时，甘地已经30岁了，他写了两篇论文，但似乎没有什么现今被视为研究成果的东西。他可能知道图灵机是什么，但他对于逻辑的技术掌握得太差了。甘地的知识发展轨迹似乎非常不真实。那他是如何成为一个逻辑学家，甚至在后来成为非常杰出的逻辑学家的呢？
第2章被遗忘的图灵292.5学生与导师在接下来的几年里，发生了一些重要的事情。1952年年底，甘地完成了博士学位论文（Gandy，1953）。它分为两个部分，第一部分是更实质性的，关于类型的理论，这构成了甘地在数理逻辑中的第一步。或安德鲁·霍奇斯（1983）的记载显示，1950年左右图灵成为甘地的导师。我们不清楚这种安排的意图是什么，但似乎可以自然地认为它是在甘地第二次申请奖学金失败后图灵做出的决定。图灵负责安排面试，并且如霍奇斯（1983）所述，他遇到了一些麻烦。但面试一定是在第二年夏天举办的，因为论文于1953年7月被存放在大学图书馆。导师对博士论文的影响通常是难以衡量的。我将从甘地自己的话开始说起。他以如下致谢来结束论文的概述部分：最后，我必须要说图灵所赠予我的到底有多少。他首先引发了我对丘奇系统和推论定理的重要性的注意，这是我之前并不愿意去关注的。关于置换和不变性及其理论形式的许多工作，我都是与他一起完成的。没有他的鼓励，我应该早就绝望地放弃了；没有他的批评，我的想法也不会如此深刻。这一定是肺之言，然于通常致谢导师的套话。但就内容而言这远非完整的故事。那么论文中到底写了什么呢？鉴于甘地先前的失败，他论文的标题《在数学和物理理论中的公理系统》就已经够令人担忧的了：这好像与之前的论文并没有太大区别。论文的第二部分确实在逻辑层面物理基础的描述上做了更进一步的尝试？，然而他并没有走多远。甚至有些奇怪，在甘地所称的公理推演章节中，包含对这个公理意义的反思，但这与公理或论文的其余部分没有明显的关系。不过，关于结构和理论的章节显示他已经很好地掌握了逻辑基础，我的猜测是，博士论文的第二部分体现了相对1950年申请奖学金论文的重大进展。然而，关于数理逻辑的第一部分与之相比则是在一个完全不同的水平上。我将简要概述一下这篇文章。甘地所称的丘奇系统即丘奇的类型论甘地对物理的兴趣始终如一，并且令人欣喜的是，他最终在物理学上做出了巨大的贡献。他最新的关于物理机理的论文（Gandy，1980）至今仍在被广泛地讨论。
30第一部分置身可计算的世界，探索普适性数学（Church，1940）。他表述了丘奇系统和自己设计的变种，并证明了它们的等价性。他在图灵（Turing，1948）的基础上，提出了一种新颖的引申：类型带有一个特定的默认值°，图灵将其非正式地称为“无意义元素”。甘地在致谢中提到的置换下的不变性构成了一个重要章节。据推测，它源于1950年申请奖学金论文中的无差异群。这里有一个具体的应用：唯一可定义的个体就是无意义元素。我们现在称为内部模型的概念和对限制复杂性的事实判定定义在他的论文中已由多个章节很成熟地体现了。还有一个章节，即名为“虚拟类型”的第三章，在博士学位论文中，它并不突出，起码与主体结构无关，但它的内在意义和它对我们故事的重要性使得它相当特别。甘地感谢图灵改变了他起初不愿意关注丘奇类型论的想法。所以这体现了图灵的影响是非常重要的，但是影响程度有多深已经不得而知。我们知道的是，在图灵的指导下，几年间甘地已成为一个严谨的逻辑学家。2.6中文翻译我想离开故事的主线，说一些关于虚拟类型的构造问题。我不想用数学理论来解释，但我会给出一个足够有趣的设想，这个设想包含在图灵的人工智能理论中。想象一下，以英语为母语的我们希望将英文翻译为中文。我们得到了一些机器，据说它们可以执行翻译任务，我们想评估它们的效果。我们找来了一个母语为中文的人进行合作，但我们中没有人会说两种语言。这个任务看起来没有任何希望，因为我们无法知道机器是否给出了真正的翻译。但有两件事我们可以测试：它们的一致性和外延等同性。什么是一致性？让我们从一台机器开始。我们提供两个具有相同含义的句子。例如，“猫坐在垫子上”和“垫子上坐了只猫”。我们将这两句话输入机人科研教器中，并得到两个翻译结果。然后我们将这两个翻译结果给母语为中文者看。仅供个否表示相同的事情。它们可能都意味着“月亮是由绿色奶酪做成的”，但这没有关系。只要机器翻译出来两个句子的意义仍然一致，它就满足一致性。在现代计算机科学语言中，这样的说法意味着导致一个特例。这场著名辩论的后续发展是十分有意思的，但是在此我不会深人讨论。
第2章被遗忘的图灵31现在让我们拿出两台机器，我们已经测试了它们是否具备一致性。现在我们想看看它们是否外延等同。这就是说，我们把“猫坐在垫子上”输人一台机器，“垫子上坐了只猫”输人另一台机器。，并将翻译结果给母语为中文者看，判断两个翻译的意思是否相同。在这个关于翻译的设想中，包括了所有处理虚拟类型的基本概念。我们看到了对相关数据的操作（英文句子），我们也看到了对等效数据进行转换的操作（英文句子转为同义中文句子）。当它们对相同数据（英文句子）的输出等同（同义词）时，操作是等效的。这几乎阐述了所有对虚拟类型的处理。用技术术语来说，我刚刚描述了部分等价关系到函数空间的递归扩展，或者用甘地的术语，这是虚拟类型函数空间的定义。我讲这个设想的目的是吸引大家关注由虚拟类型引发的研究与在人工智能领域著名的图灵测试中涉及的问题之间的相似性。他们都专注于输人一输出行为。在图灵测试中，如果一台机器的响应与一个人的响应不能区分，那么我们将它们视为等同，即机器与人有着同样的意识。虚拟类型的设想的确是图灵世界的一部分。2.7一个想法的产生现在让我们回到甘地学术生涯发展的故事。他发表的第一篇论文（Gandy，1956，1959）是关于外延公理的相对一致性。我把这个称为一致性结果。我们没有在其博士论文（Gandy，1953）中发现迹象，但那篇论文确实在关于虚拟类型的章节中使用了递归构造。这就是两篇论文之间的关系。大多数数学家认为，作为数学的基础，丘奇的类型论已经具有内在的外延公理。虚拟类型的想法是创建包含合适外延等同性的新类型。技术上我们可以认为它是“通过部分等价关系取商”。甘地的见解是，从一个没有外延性的系统开始，你可以依据外延公理成立使用同样的方法来构造新的类型。这给出了一种典型的数学定理方面的逻辑：一致性结果。这个甘地（1953）给出的递归构造的具体应用非常重要。我应当指出，这可以被视为许多后来理论的先驱。我们在具备一致性的基础上处理等同性，因此原则上可以为两者都输人“猫坐在垫子上”。但是这里给出的表述是具有普适性的。
32第一部分置身可计算的世界，探索普适性数学他们讨论了类型论。甘地的一致性结果不在他的博士论文中，论文（Gandy，1956）直到1955年7月一一图灵死后一年才被受理。然而，我确信一致性结果在1954年这次访问时已被知晓，原因有两个。第一个是直接的：甘地自己告诉了我。我的博士论文讨论了被斯蒂芬·克莱尼（1959）称为可数泛函和被乔治·克雷索尔（1959）称为连续泛函的理论。这两种原创方法相比于这种更高类型的结构是完全不同的，但它们都使用甘地（1953，1956）的虚拟类型技术。在那些日子里，我对前辈们并不感兴趣，但甘地曾经和我谈过他的早期论文和我所感兴趣的工作之间的联系。那不是我们通常那种随意的对话。我记得，甘地显然为他的早期工作感到自豪，他希望我明白，图灵对它印象深刻还赞美了它。我确信甘地在谈话中特别提到了那篇论文。我记得最清楚的是，甘地格外看重图灵的称赞。2.8远见和反思当我与甘地谈话时，我并没有感到奇怪。后来我向克雷索尔质疑：虚拟类型构造的想法看起来如此简单，图灵真的对它印象深刻吗？克雷索尔取笑我连图灵的观点都不加以分析就认为他是一位非常有才华的人。当时我认为可能是图灵隐藏了他的真实意见。但我们知道图灵是一个非常诚实的人，这种解读看起来不太对。事后看来，我认识到，我早期觉得虚拟类型构造简单的想法没有什么错误。甘地论文中的想法可能很简单，但它有广泛的应用。正如斯科特（192）观察到的，甘地自己对集合理论的扩展（Gandy，1959）是精致的。斯科特的分析非常自然地导出了布尔值模型的斯科特一索罗威公式。在证明理论中也出现了同样的想法。并且当其扩展到一种假定的情境中时，可以得出与泰特和杰人科研教勒德相关联的方法：“可还原性候选者”。很快，出于其他目的理论计算机领域也利用了这个方法，并称它为普洛特金逻辑关系。在抽象数学领域，这个想法也常常出现。它的现代术语是部分等价关系或者子商。最近，探索外延性作事实上直到我开始写这部分时才第一次了解甘地的博士论文。我并没有阅读甘地的论文，也没有将其引用到我自己的论文中。因此这些内容是直接进行阐述的。在网络上搜索部分等价关系，将会有超过250万个结果。